前言
本篇内容不需要单独学习，可以在碰到自己所不熟悉的数学符号时来本页面查阅。
在学习数学的过程中大家会见到许多复杂的公式符号。因此在学习具体内容之前，建议大家首先理解下列常见符号的含义。一些特殊的符号会在对应的章节中讲到，而这里则有一些极为常见的符号需要大家提前掌握。
渐进符号
请参见 复杂度。
整除/同余理论常见符号
整除符号：x∣yx\mid yx∣y，表示 xxx 整除 yyy，即 xxx 是 yyy 的因数。
取模符号：x mod yx\bmod yxmody，表示 xxx 除以 yyy 得到的余数。
互质符号：x⊥yx\perp yx⊥y，表示 xxx，yyy 互质。
最大公约数：gcd(x,y)\gcd(x,y)gcd(x,y)，在无混淆意义的时侯可以写作 (x,y)(x,y)(x,y)。
最小公倍数：lcm(x,y)\operatorname{lcm}(x,y)lcm(x,y)，在无混淆意义的时侯可以写作 [x,y][x,y][x,y]。
数论函数常见符号
求和符号：∑\sum∑ 符号，表示满足特定条件的数的和。举几个例子：
∑i=1ni\sum_{i=1}^n i∑i=1ni 表示 1+2+⋯+n1+2+\dotsb+n1+2+⋯+n 的和。其中 iii 是一个变量，在求和符号的意义下 iii 通常是 正整数或者非负整数（除非特殊说明）。这个式子的含义可以理解为，iii 从 111 循环到 nnn，所有 iii 的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然，学过简单的组合数学的同学都知道 ∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^n i=\dfrac{n(n+1)}{2}∑i=1ni=2n(n+1)。
∑S⊆T∣S∣\sum_{S\subseteq T}|S|∑S⊆T∣S∣ 表示所有被 TTT 包含的集合的大小的和。
∑p≤n,p⊥n1\sum_{p\le n,p\perp n}1∑p≤n,p⊥n1 表示的是 nnn 以内有多少个与 nnn 互质的数，即 φ(n)\varphi(n)φ(n)，φ\varphiφ 是欧拉函数。
求积符号：∏\prod∏ 符号，表示满足特定条件的数的积。举几个例子：
∏i=1ni\prod_{i=1}^ni∏i=1ni 表示 nnn 的阶乘，即 n!n!n!。在组合数学常见符号中会讲到。
∏i=1nai\prod_{i=1}^na_i∏i=1nai 表示 a1×a2×a3×⋯×ana_1\times a_2\times a_3\times \dotsb\times a_na1×a2×a3×⋯×an。
∏x∣dx\prod_{x|d}x∏x∣dx 表示 ddd 的所有因数的乘积。
在行间公式中，求和符号与求积符号的上下条件会放到符号的上面和下面，这一点要注意。
其他常见符号
阶乘符号 !!!，n!n!n! 表示 1×2×3×⋯×n1\times 2\times 3\times \dotsb \times n1×2×3×⋯×n。特别地，0!=10!=10!=1。
向下取整符号：⌊x⌋\lfloor x\rfloor⌊x⌋，表示小于等于 xxx 的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整 ⌊xy⌋\left\lfloor\dfrac{x}{y}\right\rfloor⌊yx⌋。
向上取整符号：⌈x⌉\lceil x\rceil⌈x⌉，与向下取整符号相对，表示大于等于 xxx 的最小的整数。
组合数：(xy)\binom{x}{y}(yx)
第一类斯特林数：[xy]x\brack y[yx]
第二类斯特林数：{xy}x\brace y{yx}
本文对于数论的开头部分做一个简介。
整除
定义
设 a,b∈Za,b\in\mathbf{Z}a,b∈Z，a≠0a\ne 0a=0。如果 ∃q∈Z\exists q\in\mathbf{Z}∃q∈Z，使得 b=aqb=aqb=aq，那么就说 bbb 可被 aaa 整除，记作 a∣ba\mid ba∣b；bbb 不被 aaa 整除记作 a∤ba\nmid ba∤b。
整除的性质：
a∣b ⟺ −a∣b ⟺ a∣−b ⟺ ∣a∣∣∣b∣a\mid b\iff-a\mid b\iff a\mid-b\iff|a|\mid|b|a∣b⟺−a∣b⟺a∣−b⟺∣a∣∣∣b∣
a∣b∧b∣c ⟹ a∣ca\mid b\land b\mid c\implies a\mid ca∣b∧b∣c⟹a∣c
a∣b∧a∣c ⟺ ∀x,y∈Z,a∣(xb+yc)a\mid b\land a\mid c\iff\forall x,y\in\mathbf{Z}, a\mid(xb+yc)a∣b∧a∣c⟺∀x,y∈Z,a∣(xb+yc)
a∣b∧b∣a ⟹ b=±aa\mid b\land b\mid a\implies b=\pm aa∣b∧b∣a⟹b=±a
设 m≠0m\ne0m=0，那么 a∣b ⟺ ma∣mba\mid b\iff ma\mid mba∣b⟺ma∣mb。
设 b≠0b\ne0b=0，那么 a∣b ⟹ ∣a∣≤∣b∣a\mid b\implies|a|\le|b|a∣b⟹∣a∣≤∣b∣。
设 a≠0,b=qa+ca\ne0,b=qa+ca=0,b=qa+c，那么 a∣b ⟺ a∣ca\mid b\iff a\mid ca∣b⟺a∣c。
约数
定义
若 a∣ba\mid ba∣b，则称 bbb 是 aaa 的 倍数，aaa 是 bbb 的 约数。
000 是所有非 000 整数的倍数。对于整数 b≠0b\ne0b=0，bbb 的约数只有有限个。
平凡约数（平凡因数）：对于整数 b≠0b\ne0b=0，±1\pm1±1、±b\pm b±b 是 bbb 的平凡约数。当 b=±1b=\pm1b=±1 时，bbb 只有两个平凡约数。
对于整数 b≠0b\ne 0b=0，bbb 的其他约数称为真约数（真因数、非平凡约数、非平凡因数）。
约数的性质：
设整数 b≠0b\ne0b=0。当 ddd 遍历 bbb 的全体约数的时候，bd\dfrac{b}{d}db 也遍历 bbb 的全体约数。
设整数 b>0b\gt 0b>0，则当 ddd 遍历 bbb 的全体正约数的时候，bd\dfrac{b}{d}db 也遍历 bbb 的全体正约数。
在具体问题中，如果没有特别说明，约数总是指正约数。
带余数除法
定义
设 a,ba,ba,b 为两个给定的整数，a≠0a\ne0a=0。设 ddd 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 qqq 和 rrr，满足 b=qa+r,d≤r<∣a∣+db=qa+r,d\le r<|a|+db=qa+r,d≤r<∣a∣+d。
无论整数 ddd 取何值，rrr 统称为余数。a∣ba\mid ba∣b 等价于 a∣ra\mid ra∣r。
一般情况下，ddd 取 000，此时等式 b=qa+r,0≤r<∣a∣b=qa+r,0\le r<|a|b=qa+r,0≤r<∣a∣ 称为带余数除法（带余除法）。这里的余数 rrr 称为最小非负余数。
余数往往还有两种常见取法：
绝对最小余数：ddd 取 aaa 的绝对值的一半的相反数。即 b=qa+r,−∣a∣2≤r<∣a∣−∣a∣2b=qa+r,-\dfrac{|a|}{2}\le r<|a|-\dfrac{|a|}{2}b=qa+r,−2∣a∣≤r<∣a∣−2∣a∣。
最小正余数：ddd 取 111。即 b=qa+r,1≤r<∣a∣+1b=qa+r,1\le r<|a|+1b=qa+r,1≤r<∣a∣+1。
带余数除法的余数只有最小非负余数。如果没有特别说明，余数总是指最小非负余数。
余数的性质：
任一整数被正整数 aaa 除后，余数一定是且仅是 000 到 (a−1)(a-1)(a−1) 这 aaa 个数中的一个。
相邻的 aaa 个整数被正整数 aaa 除后，恰好取到上述 aaa 个余数。特别地，一定有且仅有一个数被 aaa 整除。
互素
定义
若 (a1,a2)=1(a_1,a_2)=1(a1,a2)=1，则称 a1a_1a1 和 a2a_2a2 互素（既约）。
若 (a1,…,ak)=1(a_1,\ldots,a_k)=1(a1,…,ak)=1，则称 a1,…,aka_1,\ldots,a_ka1,…,ak 互素（既约）。
多个整数互素，不一定两两互素。例如 666、101010 和 151515 互素，但是任意两个都不互素。
素数与合数
定义
设整数 p≠0,±1p\ne0,\pm1p=0,±1。如果 ppp 除了平凡约数外没有其他约数，那么称 ppp 为 素数（不可约数）。
若整数 a≠0,±1a\ne0,\pm 1a=0,±1 且 aaa 不是素数，则称 aaa 为 合数。
我已完成本知识点的学习！